Введение в теорию вероятностей: Основы совместных распределений вероятностей

В предыдущих уроках мы жили в одномерном мире, наблюдая за отдельными случайными величинами изолированно. Теперь мы расширяем наши горизонты до совместных распределений вероятностей. Представьте, что вы наблюдаете несколько переменных одновременно — например, рост и вес студента или координаты дротика, попавшего в мишень. Эта модель позволяет математически описать, как переменные взаимодействуют, зависят друг от друга или существуют в полной независимости.

1. Совместная функция накопленной вероятности (СФНВ)

Основой анализа многомерных величин является совместная функция распределения $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Она определяет вероятность того, что одновременно выполняется несколько условий.

$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$

Эта формула представляет собой вероятность того, что каждая переменная $X_i$ одновременно находится ниже своего соответствующего порога $a_i$. Геометрически, в двух измерениях это вероятность того, что случайная пара $(X, Y)$ попадает в бесконечный прямоугольник, расположенный в левом нижнем углу относительно точки $(a, b)$.

2. Микроскопическое толкование плотности

Для непрерывных переменных мы описываем вероятность через совместную функцию плотности вероятности (СФПВ), $f(x, y)$. В отличие от дискретных случаев, вероятность на одной точке равна нулю. Вместо этого мы рассматриваем бесконечно малые области:

Вероятность того, что пара $(X, Y)$ попадает в крошечный прямоугольник, задается выражением:
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$
Альтернативно: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$

Это показывает, что $f(x, y)$ — это «плотность» по отношению к площади области на плоскости Координат.

3. Зависимость и геометрические ограничения

В теории вероятностей, случайные величины, которые не являются независимыми, называются зависимыми. Это не просто алгебраическое свойство; оно часто проявляется в области определения распределения.

Пример 1с: Случайная точка на окружности

Рассмотрим точку $(X, Y)$, выбранную равномерно внутри круга радиуса $R$, центр которого находится в точке $(0,0)$. Переменные $X$ и $Y$ являются зависимыми потому что знание значения $X = x$ ограничивает возможные значения $Y$.

Если $X$ близко к $R$, то $Y$ должно быть близко к 0. Математически, $Y$ ограничено: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Именно эта граница препятствует разложению совместной плотности на независимые маргинальные плотности.

🎯 Ключевой вывод

Совместные распределения определяют общее пространство вероятностей. Когда реализация одной переменной ограничивает возможные исходы другой (как в примерах 1с, 1д и 1е), мы точно передали суть зависимости.

ВОПРОС 1

Бросают два честных кубика. Пусть $X$ — значение на первом кубике, а $Y$ — наибольшее из двух значений. Какова совместная функция массы вероятности $p(3, 4)$?

$1/36$

$2/36$

$4/36$

ВОПРОС 2

Совместная функция плотности вероятности для $X$ и $Y$: $f(x, y) = e^{-(x+y)}$ при $x, y \ge 0$. Найдите $P\{X < Y\}$.

0.5

1.0

0.25

$1/e$

ВОПРОС 3

В примере 8б пусть $Y_{k+1} = n + 1 - \sum_{i=1}^{k} Y_i$. Являются ли $Y_1, \dots, Y_k, Y_{k+1}$ обмениваемыми?

Да, потому что совместное распределение симметрично относительно всех перестановок индексов.

Нет, потому что $Y_{k+1}$ — это зависимая сумма остальных.

Только если переменные независимы.

Только если $n$ достаточно велико.

ВОПРОС 4

Мужчина и женщина независимо приходят в место между 12:00 и 13:00 (равномерное распределение). Какова вероятность того, что первый пришедший ждет дольше 10 минут?

$25/36$

$11/36$

$1/6$

$1/2$

ВОПРОС 5

Если $X \sim \text{Bin}(n, p)$ и $Y \sim \text{Bin}(m, p)$ — независимые, какова распределение $X + Y$?

Bin(n + m, p)

Bin(n + m, 2p)

Poisson((n + m) × p)

Сложная свёртка без простой формы

Кейс: Равномерное круговое распределение

Геометрическая вероятность и маргинальные плотности

Рассмотрим круг радиуса $R$. Точка $(X, Y)$ выбирается случайно так, что все области равной площади имеют одинаковую вероятность. Совместная плотность $f(x, y) = c$ для $x^2 + y^2 \le R^2$.

В1

Определите значение константы $c$.

Решение: Общая вероятность должна быть равна 1. $\iint_{\text{круг}} c \, dA = 1$. Поскольку площадь круга равна $\pi R^2$, имеем $c \cdot \pi R^2 = 1 \implies c = \frac{1}{\pi R^2}$.

В2

Найдите маргинальную функцию плотности $f_X(x)$.

Решение: Интегрируем по $y$ при фиксированном $x$:
$f_X(x) = \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \frac{1}{\pi R^2} \, dy = \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2}$ для $-R \le x \le R$.

В3

Пусть $D$ — расстояние от начала координат. Найдите $E[D]$.

Решение: Используя полярные координаты: $E[D] = \iint \sqrt{x^2 + y^2} \cdot f(x, y) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot \frac{1}{\pi R^2} \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{1}{\pi R^2} (2\pi) \int_0^R r^2 \, dr = \frac{2}{R^2} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^R = \frac{2}{3}R$.

В4

Предположим, что честный кубик подбрасывают 9 раз. Найдите вероятность, что 1 выпадет три раза, 2 и 3 — по два раза, 4 и 5 — по одному разу, а 6 — ни разу.

Решение: Используйте формулу многомерного распределения: $P = \frac{n!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!x_6!} \cdot p_1^{x_1} p_2^{x_2} p_3^{x_3} p_4^{x_4} p_5^{x_5} p_6^{x_6}$.
$P = \frac{9!}{3!2!2!1!1!0!} \cdot (1/6)^9 = \frac{362880}{6 \cdot 2 \cdot 2} \cdot (1/6)^9 = 15120 \cdot (1/6)^9 \approx 0.0015$.